Question

15．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）；當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x；令g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-10，10]上所有零點之和為-5．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期性，然后求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，和零點，利用函數(shù)的周期性進行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)的周期為4，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)-1≤x≤0時，當(dāng)0≤-x≤1，
則f（-x）=-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
則f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤1，
若-3≤x≤-1，則-1≤x+2≤1，
∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-$\frac{1}{2}$（x+2），-3≤x≤-1，
由g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$，
則一個周期[-3，1]內(nèi)，
若-1≤x≤1，則由f（x）=$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$得x=-1，
若-3≤x≤-1，則由f（x）=-$\frac{1}{2}$（x+2）=-$\frac{1}{2}$得x=-1，
綜上在一個周期內(nèi)函數(shù)的零點為-1，
∵函數(shù)的周期是4n，
∴函數(shù)的零點為x=4n-1，（n∈Z），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-10，10]上所有零點之和為-9-5-1+3+7=-5
故答案為-5．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的求解和判斷，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期和函數(shù)在一個周期內(nèi)的零點是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．