Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點(diǎn)的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．試對橢圓寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意知，2a=4，∴橢圓C的方程為，把點(diǎn)A（1，）代入，得，解得b²=3，c²=1，∴橢圓C的方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
（2）在橢圓上取關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動(dòng)點(diǎn)P，直線PM，PN的斜率存在．那么
證明：設(shè)橢圓方程是，設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），又設(shè)P（x，y），（x≠±m(xù)，），那么①且②
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105373.png' />，由①知：，由②，所以，所以=
分析：（1）由題意知2a=4，把點(diǎn)A（1，）代入能推導(dǎo)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在橢圓上取關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動(dòng)點(diǎn)P，直線PM，PN的斜率存在．那么．
證明：設(shè)橢圓方程是，設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），又設(shè)P（x，y），（x≠±m(xù)，），那么且，由此能夠推導(dǎo)出=．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的正確選用．