如圖,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,沿矩形的對(duì)角線BD把△ABD折起,使A移到A1點(diǎn),且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
求證:(1)BC⊥A1D;
(2)平面A1BC⊥平面A1BD.

【答案】分析:(1)通過(guò)證明BC⊥A1O,BC⊥CO,證明BC⊥平面A1CD,從而證明BC⊥A1D,即由線線垂直推出線面垂直,再由線面垂直證出線線垂直.
(2)由(1)知BC⊥A1D,因?yàn)锳BCD為矩形,所以A1B⊥A1D,可證A1D⊥平面A1BC,從而達(dá)到目的,關(guān)鍵在一個(gè)平面內(nèi)找到一條線和另一個(gè)平面垂直.
解答:證明:(1)由于A1在平面BCD上的射影O在CD上,
則A1O⊥平面BCD,又BC?平面BCD,
則BC⊥A1O,
又BC⊥CO,A1O∩CO=O,
則BC⊥平面A1CD,又A1D?平面A1CD,
故BC⊥A1D.
(2)因?yàn)锳BCD為矩形,所以A1B⊥A1D,
由(1)知BC⊥A1D,A1B∩BC=B,則A1D⊥平面A1BC,又A1D?平面A1BD.
從而有平面A1BC⊥平面A1BD.
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,面面垂直的判定,關(guān)鍵是正確進(jìn)行線線垂直于面面垂直間的轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:名師指點(diǎn)學(xué)高中課程 數(shù)學(xué) 高二(下) 題型:044

如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對(duì)角線AC將△ABC折起,使B點(diǎn)在平面ADC內(nèi)的射影恰好落在AD上,求:

(1)異面直線AB與CD成的角;

(2)異面直線AB與CD的距離;

(3)二面角B-AC-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、

PC的中點(diǎn).

(1)求證:EF∥平面PAD;

(2)求證:EF⊥CD;

(3)若ÐPDA=45°求EF與平面ABCD所成的角的大。

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用,以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問(wèn)中,利用連AC,設(shè)AC中點(diǎn)為O,連OF、OE在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD.

第二問(wèn)中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF.

第三問(wèn)中,若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC    ∵ EOBC,F(xiàn)OPA

∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

證:連AC,設(shè)AC中點(diǎn)為O,連OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………①    在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn)  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD.

(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF.

(3)若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC         ∵ EOBC,F(xiàn)OPA

∴ FO=EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10,共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

A、選修4-1:幾何證明選講

   如圖,已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,AD//BC,過(guò)C作該圓的切線,交AD的延長(zhǎng)線于E,求證:ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2:矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量,求實(shí)數(shù)a,λ的值及A2。

C、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線D的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))。若曲線C、D有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5:不等式選講

   已知a,b都是正實(shí)數(shù),且ab=2。求證:(1+2a)(1+b)≥9。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知幾何體ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ABEF為矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O為AB中點(diǎn).

(1)求證:AB⊥平面DCO

(2)若M為CD中點(diǎn),AF=x,則當(dāng)x取何值時(shí),使AM與平面ABEF所成角為45°?

試求相應(yīng)的x值的.

(3)求該幾何體在(2)的條件下的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

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A、選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,AD//BC,過(guò)C作該圓的切線,交AD的延長(zhǎng)線于E,求證:ΔABC∽ΔEDC。

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C、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線D的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))。若曲線C、D有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
D、選修4-5:不等式選講
已知a,b都是正實(shí)數(shù),且ab=2。求證:(1+2a)(1+b)≥9。

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