Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足=2，•=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線y=kx+與（1）中所求點(diǎn)N的軌跡E交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且≤•≤，求△FOH的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AM=2AP且NP⊥AM即NP為AM的中垂線故聯(lián)想到連接NA即可觀察出NA+NC=CM=2 在根據(jù)圓錐曲線的定義可寫出曲線E的方程．
根據(jù)題意，先證明出NP為線段AM的垂直平分線，利用垂直平分線定理得到點(diǎn)N到點(diǎn)A、C的距離和為常數(shù)，從而得出所求軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，不難求出它的方程；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將直線y=kx+與橢圓方程聯(lián)解消去y得關(guān)于x的方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到 ，將這個(gè)關(guān)系代入到數(shù)量積 當(dāng)中，表示成關(guān)于k的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終得到不等式 ，解這個(gè)不等式可得k²的取值范圍，將△FOH的面積用k表示，從而可求出面積的取值范圍．
解答：解：（1）=2 ，，•=0
所以NP為線段AM的垂直平分線，|NA|=|NM|
|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2 ＞2=|CA|
所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2 ，焦距2c=2，所以a=，c=1，b²=1
曲線E的方程為 ．
（2）設(shè)F（x₁，y₁）H（x₂，y₂），則由 ，消去y得
（2k²+1）x²+4k x+2k²=0，△=8k²＞0 （k≠0）

∴

=（k²+1）x₁x₂+k （x₁+x₂）+k²+1
=-=
∴⇒
∵|FH|==
 又點(diǎn)O到直線EH的距離d=1，
∴
令
∴
∵2≤t≤3
∴
∴
點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題的考查，是綜合題有一定的難度．主要考查了利用圓錐曲線的定義求曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，同時(shí)考查里哦啊設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用．