Question

直線：ax-y-（a-5）=0（a是參數(shù)）與拋物線f：y=（x+1）²的相交弦是AB，求弦AB的中點軌跡方程．（利用點差法）

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：a≠0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設中點C（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y=（x+1）²，利用點差法能求出弦AB的中點軌跡方程．

解答： 解：聯(lián)立

ax-y-(a+5)=0 y=(x+1)2

，
化解得到x²+（2-a）x+a+6=0，
a=0時，（x+1）²=-5，不成立，方程組無解，即直線與拋物線不相交；
a≠0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設中點C（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入y=（x+1）²，
得

y1=(x1+1)2 y2=(x2+1)2

，兩式相減得y₁-y₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂），
∴y₁-y₂=（2x+2）（x₁-x₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2x+2，
∵直線ax-y-（a-5）=0過點（0，5-a），（x，y），
∴k=

y-5+a

x

，
∴

y-5+a

x

=2x+2，
整理，得2x²+2x-y-a+5=0．
∴弦AB的中點軌跡方程為2x²+2x-y-a+5=0．

點評：本題考查弦中點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．