Question

如圖，幾何體ABC一EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC=90°，AC=2AB=2，CD=2AE=

6

（1）求三棱錐D-BEC的體積；   
（2）求證：CE⊥DB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：由題意可證，EF⊥平面BCD，再由VD-BCE=VE-BCD=

1

3

•S△BCD•EF，運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）先利用線面垂直的性質(zhì)證明EF⊥BD，再證Rt△BCF∽R(shí)t△CDB，從而得到CF⊥BD，再由直線和平面垂直的判定定理證明BD⊥平面CEF，可得BD⊥CE．

解答：（Ⅰ）解：由題意可證，EF⊥平面BCD，
VD-BCE=VE-BCD=

1

3

•S△BCD•EF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×1=

2

2

．
（Ⅱ）證明：連接CF，依題意可得：AB⊥BF，AB⊥BC，而B(niǎo)F和BC是平面BFD內(nèi)的兩條相交直線，
故有AB⊥平面BFD．
而B(niǎo)D在平面BFD內(nèi)，故AB⊥BD．
再由EF∥AB可得EF⊥BD．
又在Rt△BCF和Rt△CDB中，
∵

BF

BC

=

6 2

3

=

2

2

，

BC

CD

=

3

6

=

2

2

，∴

BF

BC

=

BC

CD

，∴Rt△BCF∽R(shí)t△CDB，
∴∠BDC=∠BCF，∴∠BDC+∠DCF=∠BCF+DCF=90°，∴CF⊥BD．
綜上可得，BD垂直于平面CEF內(nèi)的兩條相交直線，故有BD⊥平面CEF．
又CE?平面CEF，所以BD⊥CE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求棱錐的體積的方法，直線和平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．