已知函數(shù)f(x)=ax3+3bx2-(a+3b)x+1(ab≠0)在x=1處取得極值,在x=2處的切線平行于向量=(b+5,5a).
(1)求a,b的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得方程在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等實(shí)根?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)由函數(shù)f(x)=ax3+3bx2-(a+3b)x+1(ab≠0)在x=1處取得極值,且在x=2處的切線斜率值k,求導(dǎo),可得1是f′(x)=0的兩根,且f′(0)=k,解方程組即可求得,a,b的值,從而求得f(x)的解析式;
(2)先把方程,在求出g(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷出g(x)的圖象變化規(guī)律,再利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在正整數(shù)m滿足要求.
解答:解:(1)f'(x)=3ax2+6bx-(a+3b)
…(4分)
得f(x)=6x3-12x2+6x+1
∴f'(x)=18x2-24x+6=6(3x-1)(x-1),
上單調(diào)遞增.
上單調(diào)遞減 …(8分)
(2)方程
令g(x)=18x3-36x2+19

當(dāng),∴g(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng),∴g(x)是單調(diào)增函數(shù);

∴方程內(nèi)分別有唯一實(shí)根.…(12分)
∴存在正整數(shù)m=1,使得方程在區(qū)間(1,2)上有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.…(14分)
點(diǎn)評(píng):此題是中檔題.考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題,和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
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 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
 

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