Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，且函數(shù)f（x）的圖象過點(

π

2

，-1)．
（1）求ω和φ的值；
（2）設(shè)g(x)=f(x)+f(

π

4

-x)，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω=2，再根據(jù)f（x）當x=

π

2

時函數(shù)值等于-1，建立關(guān)于φ的等式，結(jié)合0＜φ＜π，即可得到φ的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入可得g（x）=cos2x+sin2x，用輔助角公式合并得g（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，最后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，解不等式即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）由題意，可知ω=

2π

T

=

2π

π

=2，…（2分）
又∵函數(shù)f（x）的圖象過點(

π

2

，-1)，
∴f(

π

2

)=-1得，sin(2•

π

2

+φ)=-1，得sinφ=1
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，…（4分）
（2）由（1）知：f(x)=sin(2x+

π

2

)=cos2x…（6分）
因為g(x)=cos2x+cos(

π

2

-2x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)…（9分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．…（11分）
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．…（12分）

點評：本題已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期和一個對應(yīng)值，求函數(shù)的表達式，著重考查了三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)和正弦函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于基礎(chǔ)題．