Question

（2011•合肥三模）已知函數(shù)f（x）=（x+k）lnx（k是常數(shù)）．
（1）若f（x）是增函數(shù)，試求k的取值范圍；
（2）當k=0時，是否存在不相等的正數(shù)a，b滿足

f(a)-f(b)

a-b

=f′(

a+b

2

)？若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）是增函數(shù)，則f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即可求出k的范圍．
（2）不妨設存在a＞b＞0符合題意，則

a

b

ln

2a

a+b

-ln

2b

a+b

=

a

b

-1，構造函數(shù)F（x）=xln

2x

x+1

-ln

2

x+1

-x+1，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到整理得

a

b

ln

2a

a+b

-ln

2b

a+b

＜

a

b

-1，矛盾，符合題意的不相等的正數(shù)a、b不存在．

解答：解：（1）∵f'（x）=

kx+1

x

+lnx＞0對于x＞0恒成立，
即k≥-x-xlnx對x＞0恒成立，①，
記g（x）=-x-xlnx，所以g′（x）=-（2+lnx），
∴g（x）在x∈（0，e^-2）遞增，在x∈（e-2，+∞）遞減，
∴g（x）在（0，+∞）上的最大值為：g（e^-2）=e^-2，由①可知，k＞e^-2，即k∈[e^-2，+∞）．
（2）不妨設存在a＞b＞0符合題意，則

a

b

＞1，
整理得

a

b

ln

2a

a+b

-ln

2b

a+b

=

a

b

-1，②，
構造函數(shù)F（x）=xln

2x

x+1

-ln

2

x+1

-x+1
=xln（2x）+（1-x）ln（x+1）-x+（1-ln2）（x＞0）．
∴F′（1）=0且F'（x）=

1-x

x(x+1)2

≤0，對于x∈[1，+∞）成立．
∴F′（x）在x∈[1，+∞）上遞減．
∵

a

b

＞1
∴F（

a

b

）＜F（1）=0
整理得

a

b

ln

2a

a+b

-ln

2b

a+b

＜

a

b

-1，與②矛盾．
∴符合題意的不相等的正數(shù)a、b不存在．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及利用構造函數(shù)法證明不等式，屬于中檔題．