Question

【題目】已知橢圓的離心率，焦距為2，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且，求直線方程；

（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，求面積的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和焦距確定基本量，從而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線的待定系數(shù)方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)線段長度關(guān)系得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系求解；

（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到三角形的面積的表達(dá)式，化簡得到結(jié)論，注意對直線的斜率情況分類討論.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則由，

則.

（2）若直線斜率為，

則，不合題意，

所以斜率不為，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，

設(shè)，，

則，，

又

，

故直線.

（3）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，不妨設(shè)，

由，得，

直線方程與橢圓方程聯(lián)立，

，整理得，

所以坐標(biāo)分別為，或，，

此時(shí)；

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，

聯(lián)立，

則，，

∵，

又，

∴，

化簡得，

從而，

∴.

綜上，的面積.