Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，其公差d≠0，a₅=6，若a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數(shù)列，則n₁的值為______．

Answer 1

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a₃=a₅-2d=6-2d，a_n1=a₅+（n1-5）d=6+（n1-5）d．
∵a3，a5，an1成等比數(shù)列，
∴a₅²=a₃a_n1
化簡(jiǎn)即（6n1-42）d-2（n1-5）d²=0
∵d≠0所以有 3n1-21=（n1-5）d   （1）
顯然d=3不能使等式成立
∴由（1）式可以解出：n1=（21-5d）/（3-d）
因?yàn)閚1＞5，n1為整數(shù)，因此n1≥6，即（21-5d）/（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，則 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，與d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
當(dāng)d=2時(shí)n1=11，滿足條件．
故答案是11．