Question

5．已知函數(shù)f（x）=1-x²，函數(shù)g（x）=2ax-3a+2（a＞0），若對任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=1-x²，對x∈[0，1]，考點函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，可得f（x）∈[f（1），f（0）]=[0，1]．若對任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得g（x）=2ax-3a+2（a＞0），x∈[$\frac{1}{2}$，1]的值域為[0，1]．由于a＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=1-x²，對x∈[0，1]，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）∈[f（1），f（0）]=[0，1]．
∵若對任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）=2ax-3a+2（a＞0），x∈[$\frac{1}{2}$，1]的值域為[0，1]．
由于a＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）=a-3a+2=0}\\{g（1）=2a-3a+2=1}\end{array}\right.$，解得a=1．
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．