Question

15．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6≥0}\\{x-1≤y}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則$\frac{2}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點A時，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{x-1=y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（9，8），
此時目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，
即9a+8b=8，∴$\frac{9a}{8}$+b=1，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{4}$）（$\frac{9a}{8}$+b）=$\frac{18}{8}$+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{36a}{8b}$≥$\frac{25}{4}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{36a}{8b}}$=$\frac{25}{4}$+2×3=$\frac{25}{4}$+6=$\frac{49}{4}$，
當且僅當$\frac{2b}{a}$=$\frac{36a}{8b}$，即2b=3a時取等號．
即$\frac{2}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{49}{4}$．
故答案為：$\frac{49}{4}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．