Question

16．橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的寬成正比，并和矩形橫斷面的高的平方成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則橫斷面的高和寬分別為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$d，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$d
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$d，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$d
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$d，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$d
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$d，$\sqrt{3}$d

Answer 1

分析 據(jù)題意橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0）建立起強(qiáng)度函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)取到最大值時(shí)的橫斷面的值．

解答 解：如圖所示，設(shè)矩形橫斷面的寬為x，高為y．由題意知，當(dāng)xy²取最大值時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍去）．
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，f′（x）＞0；當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d時(shí)，f′（x）＜0，
因此，當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d時(shí)，f（x）取得極大值，也是最大值．
∴y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$d
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查據(jù)實(shí)際意義建立相關(guān)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導(dǎo)的方法來求最值．