Question

一個平面用n條直線去劃分，最多能被分成幾塊？

Answer 1

答案：
解析：

解：只有當(dāng)這些直線互不平行并且沒有兩條以上的直線交于同一點(diǎn)時，才能使分成的塊數(shù)為最多．后面，我們假定這兩個條件都滿足，用an表示由n條直線劃分平面時所產(chǎn)生的塊數(shù)． 　　我們從n＝1、2、3、4情形入手，然后比較、分析其中的規(guī)律性，進(jìn)而歸納出an． 　　用實(shí)驗(yàn)的方法可得a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，觀察這個數(shù)列，發(fā)現(xiàn)可用二次式表達(dá)為 　　a1＝，a2＝， 　　a3＝，a4＝， 　　由此猜想{an}的通項(xiàng)為an＝． 　　上述的具體計(jì)算及歸納猜想都不是件容易的事，我們可以歸納出對n條直線都適用的方法(遞推法)． 　　設(shè)n－1條直線把平面分成an－1塊，現(xiàn)在我們再添加第n條直線，它與前面n－1條直線相交可得到n－1個交點(diǎn)，這n－1個交點(diǎn)將第n條直線分成n段，每段將其穿過的平面塊一分為二，這樣就比原來多增加了n塊．于是得到遞推公式：an＝an－1＋n． 　　在上式中分別令n＝1，2，…，n，得n個等式 　　a1＝1＋1， 　　a2＝a1＋2， 　　… 　　an＝an－1＋n． 　　把它們加起來，得到 　　an＝1＋(1＋2＋…＋n) 　�。�1＋ 　�。�． 　　因此，一個平面用n條直線去劃分，最多被分成塊． 　　點(diǎn)評：運(yùn)用歸納推理需要考察部分對象的情形，從而歸納猜想出一般規(guī)律，這樣往往有時計(jì)算量大，易出偏差，且內(nèi)部潛在的規(guī)律性有時難于看出來，就用“遞推法”取代“經(jīng)驗(yàn)歸納法”，轉(zhuǎn)向考查問題每遞進(jìn)一步所反映的規(guī)律，即探求遞推關(guān)系，最后用初始值及遞推關(guān)系來尋找一般規(guī)律．