Question

如圖，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=4

3

，D為BC邊上一點(diǎn)，若AB=AD，則△ADC的周長的最大值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：由B=

π

3

，AB=AD，得到三角形ABD為等邊三角形，可得出∠ADC為

2π

3

，進(jìn)而得到∠DAC+∠C=

π

3

，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周長，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由∠ADC的度數(shù)，得到C的范圍，可得出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，確定出正弦函數(shù)的最大值，即可得到周長的最大值．

解答： 解：∵AB=AD，B=

π

3

，∴△ABD為正三角形，
∵∠DAC=

π

3

-C，∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，根據(jù)正弦定理，可得：

AD

sinC

=

4 3

sin 2π 3

=

DC

sin( π 3 -C)

，
∴AD=8sinC，DC=8sin（

π

3

-C），
∴△ADC的周長為AD+DC+AC=8sinC+8sin（

π

3

-C）+4

3

=8（

1

2

sinC+

3

2

cosC）+4

3

=8sin（C+

π

3

）+4

3

，
∵∠ADC=

2π

3

，∴0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

時(shí)，sin（C+

π

3

）的最大值為1，
則△ADC的周長最大值為8+4

3

．
故答案為：8+4

3

．

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．