Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-x+lnx（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若y=f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=ax²-x+1，由題意得，

△=1-4a＞0 h(2)h(3)＜0 a≠0

，解出即可；
（Ⅲ）令g（x）=

1

2

ax²-x+lnx-ax（x＞0），由于x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax的下方，
即x≥1，g（x）_max＜0，對a討論，①當(dāng)a＜0時，②當(dāng)0＜a≤1時，③當(dāng)a＞1時，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到g（x）的最大值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=ax-1+

1

x

，由于a=2，則f（1）=0，f′（1）=2，
則曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y=2x-2即2x-y-2=0；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=ax²-x+1，
由題意得，

△=1-4a＞0 h(2)h(3)＜0 a≠0

即為

a＜ 1 4 (4a-1)(9a-2)＜0 a≠0

，
或h（2）=0且另一根在（2，3）或，h（3）=0，另一根在（2，3），
解得

2

9

＜a＜

1

4

或a無解，
即有

2

9

＜a＜

1

4

；
（Ⅲ）令g（x）=

1

2

ax²-x+lnx-ax（x＞0），
由于x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=ax的下方，
即x≥1，g（x）_max＜0，
g′（x）=ax-1+

1

x

-a=

(ax-1)(x-1)

x

，令g′（x）=0，則x₁=1，x₂=

1

a

，
①當(dāng)a＜0時，x₂=

1

a

＜0＜x₁=1，則g（x）在x≥1單調(diào)遞減，g（x）_max＜0=g（1）
=

a

2

-1-a＜0，解得-2＜a＜0；
②當(dāng)0＜a≤1時，x₂≥x₁=1，則g（x）在（

1

a

，+∞）單調(diào)遞增，
則g（x）∈（g（x₂），+∞），不滿足g（x）_max＜0；
③當(dāng)a＞1時，x₂＜x₁=1，則g（x）在x＞1單調(diào)遞增，
則g（x）∈（g（1），+∞），不滿足g（x）_max＜0．
綜上所述，a的取值范圍為-2＜a＜0．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，屬于中檔題．