Question

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)的附加值．改造需要投入，假設(shè)附加值y（萬元）與技術(shù)改造投入x（萬元）之間的關(guān)系滿足：①y與（a-x）和x²的乘積成正比；②當(dāng)x=

a

4

時(shí)，y=

3a3

16

；③0≤

x

2(a-x)

≤t，其中常數(shù)t∈（0，2]．
（1）設(shè)y=f（x），求函數(shù)f（x）的解析式并求f（x）的定義域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此時(shí)的技術(shù)改造投入x．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)y=k（a-x）•x²，利用當(dāng)x=

a

4

時(shí)，y=

3a3

16

；求出k=4，從而可得函數(shù)表達(dá)式，即可求得y=f（x）的定義域；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，進(jìn)行求最值．

解答： 解：（1）設(shè)y=k（a-x）•x²，
∵當(dāng)x=

a

4

時(shí)，y=

3a3

16

；
∴k=4，
∴y=4（a-x）•x²，
∵y＞0，∴0＜x＜a，又由③0≤

x

2(a-x)

≤t，得x≤

2at

1+2t

=a•

2t

1+2t

＜a．
所以定義域?yàn)椋?，

2at

1+2t

]；
（2）y=4（a-x）•x²=-4x³+4ax²，
y′=-12x²+8ax=-4x（3x-2a），由y′=0得x=

2a

3

，
在（0，

2at

1+2t

]上：
∵

2at

1+2t

-

2a

3

=

2a(t-1)

3(1+2t)

，
∴當(dāng)0＜t＜1時(shí)，

2at

1+2t

＜

2a

3

，則在（0，

2at

1+2t

]上y′＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x=

2at

1+2t

時(shí)，y的最大值為f（

2at

1+2t

）=

16a3t2

(1+2t)3

；
當(dāng)1≤t≤2時(shí)，

2at

1+2t

＞

2a

3

，則在（0，

2a

3

）上y′＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（

2a

3

，

2at

1+2t

]上y′＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x=

2a

3

時(shí)，y的最大值為f（

2a

3

）=

16a3

9

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．