Question

16．已知拋物線C：y²=4x，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）作斜率為k（k＞0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，若$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=18，則k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意，圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，A，B，P三點(diǎn)共線，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$．由焦半徑公式|AF|=x₁+1=|NF|，||BF|=x₂+1=|MF|，$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18，（y₁+y₂）²=20y₁y₂，再利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，A，B，P三點(diǎn)共線，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$．
由焦半徑公式|AF|=x₁+1=|NF|，||BF|=x₂+1=|MF|，
∴$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18，∴（y₁+y₂）²=20y₁y₂，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，可得ky²-4y+4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，∴$\frac{16}{{k}^{2}}$=80，
∵k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．