分析 (1)利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式為f(x)=2sin(2x-π4),利用三角函數(shù)周期公式可求最小正周期,利用2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2,可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可得2cosβcosα=0,結(jié)合角的范圍可求β=π2,代入即可得解.
解答 解:(1)因為f(x)=sin(2x+7π4−2π)+sin(2x−3π4+π2)=sin(2x−π4)+sin(2x−π4)=2sin(2x−π4),
所以T=π,
由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2,得單調(diào)增區(qū)間為[kπ−π8,kπ+3π8],k∈Z.
(2)∵cos(β−α)=45,cos(β+α)=−45,
∴cosβcosα+sinβsinα=45,cosβcosα−sinβsinα=−45,
兩式相加,得2cosβcosα=0,
∵0<α<β≤π2,
∴β=π2,
由(1)知f(β)=2sin(2β−π4)=√2.
點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式,兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
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