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11.已知函數(shù)fx=sin2x+7π4+cos2x3π4,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知cosβα=45cosβ+α=45,0αβπ2,求f(β).

分析 (1)利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式為f(x)=2sin(2x-π4),利用三角函數(shù)周期公式可求最小正周期,利用2kππ22xπ42kπ+π2,可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可得2cosβcosα=0,結(jié)合角的范圍可求β=π2,代入即可得解.

解答 解:(1)因為fx=sin2x+7π42π+sin2x3π4+π2=sin2xπ4+sin2xπ4=2sin2xπ4
所以T=π,
2kππ22xπ42kπ+π2,得單調(diào)增區(qū)間為[kππ8kπ+3π8],k∈Z.
(2)∵cosβα=45,cosβ+α=45
cosβcosα+sinβsinα=45,cosβcosαsinβsinα=45,
兩式相加,得2cosβcosα=0,
0αβπ2,
β=π2,
由(1)知fβ=2sin2βπ4=2

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式,兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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