Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-1將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1：3．設(shè)A、B是橢圓C上的兩個動點，線段AB的中垂線與橢圓C交于P、Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

F2P

•

F2Q

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ） 設(shè)F₂（c，0），則

c-1

c+1

=

1

3

，離心率e=

2

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ） 當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=-1，

F2P

•

F2Q

=-4．當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M（-1，m） （m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用點差法求出PQ的直線方程為y=-2mx-m．聯(lián)立

y=-2mx-m x2 8 + y2 4 =1

，得：（8m²+1）x²+8m²x+2m²-8=0．由此能求出

F2P

•

F2Q

的取值范圍是[-4，

125

58

）．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)F₂（c，0），則

c-1

c+1

=

1

3

，
解得c=2．
∵離心率e=

2

2

，∴a=2

2

．
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（Ⅱ） 當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=-1，
此時P（-2

2

，0）、Q（2

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-4．
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M（-1，m） （m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 

x12 8 + y12 4 =1 x22 8 + y22 4 =1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
則-1+2mk=0，故k=

1

2m

．…（8分）
此時，直線PQ斜率為k₁=-2m，
PQ的直線方程為y-m=-2m（x+1）．即y=-2mx-m．
聯(lián)立

y=-2mx-m x2 8 + y2 4 =1

，消去y，整理得：
（8m²+1）x²+8m²x+2m²-8=0．
∴x1+x2=-

8m2

8m2+1

，x1x2=

2m2-8

8m2+1

．…（10分）
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+1+（2mx₁+m）（2mx₂+m）
=(1+4m2)x1x2+(2m2-2)(x1+x2)+4+m2
=

19m2-4

8m2+1

．
令t=1+8m²，1＜t＜29，
則

F2P

•

F2Q

=

19

8

-

51

8t

，
又1＜t＜29，∴-4＜

F2P

•

F2Q

＜

125

58

，
綜上，

F2P

•

F2Q

的取值范圍是[-4，

125

58

）．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．