Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=2，E、F分別是棱B₁C₁、B₁B的中點，H在棱CC₁上，且AB⊥AH．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-B₁EF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面AA₁C₁C，只需證明AA₁⊥AB，AB⊥AH；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-B₁EF的體積，只需求V_F-A1B1E．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC
∴AA₁⊥AB，…（2分）
又∵AB⊥AH，AA₁∩AH=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：∠B₁A₁C₁=90°
∵AB=AC=1，BB₁=2，∴S△A1B1C1=

1

2

•1•1=

1

2

∵E、F分別是棱B₁C₁、B₁B的中點，BB₁=2，
∴S△A1B1E=

1

4

，B₁F=1…（8分）
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴三棱錐A₁-B₁EF的體積為V_F-A1B1E=

1

3

•

1

4

•1=

1

12

…（12分）

點評：本小題主要考查直線和直線、直線和平面的垂直關系、幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查了數形結合和化歸與轉化的數學思想方法．