Question

2．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b，b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F₂，過左焦點F₁的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：3：4，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． $\frac{{\sqrt{34}}}{2}$

Answer 1

分析 故

解答 解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：3：4，
不妨令|AB|=3t，|BF₂|=3t，|AF₂|=4t，
由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，即
|AB|+|AF₁|-|BF₂|=2a，
即|AF₁|=2a，
又|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a=4t，
∴t=a，
即|AB|=3a，|BF₂|=3a，|AF₂|=4a，
∵cos∠BAF₂=-cos∠F₁AF₂，
∴$\frac{9{a}^{2}+16{a}^{2}-9{a}^{2}}{2×3a×4a}$=-$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×2a×4a}$，
即$\frac{2}{3}$=-$\frac{5{a}^{2}-{c}^{2}}{4{a}^{2}}$，
整理得3c²=7a²，
即$\sqrt{3}$c=$\sqrt{7}$a，
則$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，根據條件建立方程組，根據直角三角形的邊長關系建立方程是解決本題的關鍵．屬于中檔題．