Question

13．F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）當(dāng)四邊形EAPB的面積最小時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）求出F，E的坐標(biāo)，設(shè)l方程為x-my-1=0，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，由向量加法的幾何意義可知AB的中點(diǎn)也是EP的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出P的軌跡關(guān)于m的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程即可；
（II）利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算|AB|，E到l的距離d，得出S關(guān)于m的函數(shù)，求出S取得最小值時(shí)的m，代入x-my-1=0得出l的方程．

解答 解：（I）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），∴E（-1，0）．
設(shè)直線l的方程為x-my-1=0．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²-4my-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），則y₁+y₂=4m，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2．
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（2m²+1，2m）．
∵$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$=2$\overrightarrow{EM}$，∴M為EP的中點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}=2{m}^{2}+1}\\{\frac{y}{2}=2m}\end{array}\right.$，∴$\frac{x-1}{2}=2（\frac{y}{4}）^{2}+1$，即y²=4x-12．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x-12．
（II）由（I）得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4（m²+1）．
E到直線l：x-my-1=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$，∴四邊形EAPB是平行四邊形，
∴平行四邊形EAPB的面積S=2S_△ABE=8$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴當(dāng)m=0時(shí)，S取得最小值8．
此時(shí)直線l的方程為x-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，軌跡方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．