Question

（2011•南匯區(qū)二模）已知動直線y=kx交圓（x-2）²+y²=4于坐標(biāo)原點O和點A，交直線x=4于點B，若動點M滿足

OM

=

AB

，動點M的軌跡C的方程為F（x，y）=0．
（1）試用k表示點A、點B的坐標(biāo)；
（2）求動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）以下給出曲線C的五個方面的性質(zhì)，請你選擇其中的三個方面進行研究，并說明理由（若你研究的方面多于三個，我們將只對試卷解答中的前三項予以評分）．
①對稱性；（2分）
②頂點坐標(biāo)（定義：曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點）；（2分）
③圖形范圍；（2分）
④漸近線；（3分）
⑤對方程F（x，y）=0，當(dāng)y≥0時，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．（3分）

Answer 1

分析：（1）將直線的方程代入圓的方程，得到點A、直線和直線的方程聯(lián)立得出點B的坐標(biāo)從而解決問題．
（2）利用向量的坐標(biāo)關(guān)系式得出點M的參數(shù)方程為

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k為參數(shù)），消去參數(shù)k，得動點M的軌跡方程F（x，y）=0；
（3）①關(guān)于對稱性；將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程的形式不變，則曲線C關(guān)于x軸對稱．
②關(guān)于頂點坐標(biāo)，曲線C的頂點為（0，0）；在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．則曲線C的頂點坐標(biāo)為（0，0）．
③關(guān)于圖象范圍：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④關(guān)于漸近線，直線x=4是曲線C的漸近線；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當(dāng)x→4時，y→∞．則直線x=4是曲線C的漸近線．
⑤關(guān)于單調(diào)性：當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f（x）在[0，4）上單調(diào)遞增．

解答：解：（1）

(x-2)2+y2=4 y=kx

，得

x=0 y=0

或

x= 4 1+k2 y= 4k 1+k2

，
即點A(

4

1+k2

，  

4k

1+k2

).

x=4 y=kx

，得

x=4 y=4k

，即點B（4，4k）．…4分
（2）

OM

=

AB

=(

4k2

1+k2

，

4k3

1+k2

)，則點M的參數(shù)方程為

x= 4k2 1+k2 y= 4k3 1+k2

（k為參數(shù)），
消去參數(shù)k，得x³+xy²-4y²=0．…8分
（3）①關(guān)于x軸對稱；
將方程中的（x，y）換成（x，-y），方程的形式不變，則曲線C關(guān)于x軸對稱．
②曲線C的頂點為（0，0）；
在方程x³+xy²-4y²=0中，令y=0，得x=0．則曲線C的頂點坐標(biāo)為（0，0）．
③圖象范圍：0≤x＜4，y∈R；y2=

x3

4-x

≥0，得0≤x＜4，y∈R．
④直線x=4是曲線C的漸近線；0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，當(dāng)x→4時，y→∞．則直線x=4是曲線C的漸近線．
⑤當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f（x）在[0，4）上單調(diào)遞增；y2=

x3

4-x

(0≤x＜4)．設(shè)0≤x₁＜x₂＜4，則

y

2 1

-

y

2 2

=

x 3 1

4-x1

-

x 3 2

4-x2

=

x 3 1 (4-x2)- x 3 2 (4-x1)

(4-x1)(4-x2)

=

(x1-x2)[ x 2 1 (4-x2)+ x 2 2 (4-x1)+4x1x2]

(4-x1)(4-x2)

＜0．
則y₁²＜y₂²，即y₁＜y₂，所以當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f（x）在[0，4）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、考查了曲線的幾何性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．