Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3）+2，其中a為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=0處取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³-3x²+2，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，
f（x）=-3x²在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)
∴a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f'（x）=3ax（x-

2

a

），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

，
當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（

2

a

，2）時(shí)，f'（x）＞0，∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合題意），
綜上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），顯然有△=4a²+4＞0．
設(shè)方程（*）的兩個(gè)根為x₁，x₂，由（*）式得 x₁x₂=-

2

a

＜0，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂．
當(dāng)0＜x₂＜2時(shí)，g（x₂）為極小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
當(dāng)x₂≥2時(shí)，由于g（x）在[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)
所以最大值為g（0），所以在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0處取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤

6

5

，又因?yàn)閍＞0，所以a∈（0，

6

5

]