Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1處的切線方程為y=x，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）在x=1處的切線方程為y=x，可知f（1）=1，f′（1）=1，聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段后利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由f（x）=ax-（2a-1）lnx+b，得
f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

，
依題意，

f′(1)=1-a=1 f(1)=a+b=1

，解得

a=0 b=1

；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

，
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f′(x)=

a(x- 2a-1 a )

x

，令f′（x）=0得，x=

2a-1

a

＞0，
∴當(dāng)x∈(0，

2a-1

a

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈(

2a-1

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
故f（x）的減區(qū)間為(0，

2a-1

a

)，增區(qū)間為(

2a-1

a

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是對(duì)應(yīng)曲線上該點(diǎn)處的切線的斜率，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．