Question

8．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和．
（Ⅲ）求{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d和q，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和；
（Ⅲ）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，
則a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，即為1+2d+q⁴=21，
1+4d+q²=13，
解得d=q=2，
可得a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（Ⅲ）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，
{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
相減可得，-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
化簡(jiǎn)可得，S_n=3-（3-2n）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．