【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:過(guò)點(diǎn)恰有2條直線與曲線相切.
【答案】(I).(Ⅱ)見解析.
【解析】
(I)對(duì)f(x)求導(dǎo),判斷f′(x)的符號(hào)得出f(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性得出f(x)的最小值;(II)設(shè)過(guò)P的切線的切點(diǎn)為(x0,y0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組,得出關(guān)于x0的方程,利用函數(shù)單調(diào)性證明此方程恰好有兩解即可.
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=x3﹣3x2,f'(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2).
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f'(x)≤0,
所以f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減.
所以f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值為f(2)=﹣4.
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,f(1))的曲線y=f(x)的切線切點(diǎn)為(x0,y0),f'(x)=3x2﹣2ax,f(1)=1﹣a,
所以
所以.
令g(x)=2x3﹣(a+3)x2+2ax+1﹣a,
則g'(x)=6x2﹣2(a+3)x+2a=(x﹣1)(6x﹣2a),
令g'(x)=0得x=1或,
因?yàn)?/span>a>3,所以.
x | (﹣∞,1) | 1 |
|
|
|
g′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
g(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴g(x)的極大值為g(1)=0,g(x)的極小值為,
所以g(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1.
因?yàn)?/span>g(a)=2a3﹣(a+3)a2+2a2+1﹣a=(a﹣1)2(a+1)>0,
所以g(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
所以g(x)在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
即方程有且只有兩個(gè)不相等實(shí)根,
所以過(guò)點(diǎn)P(1,f(1))恰有2條直線與曲線y=f(x)相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程.
(2)直線與軸的交點(diǎn)為,與曲線的交點(diǎn)為,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,、是離心率為的橢圓:的左、右焦點(diǎn),過(guò)作軸的垂線交橢圓所得弦長(zhǎng)為,設(shè)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段的中垂線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng),為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書謎”,低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書謎”.
(1)求的值并估計(jì)全校3000名學(xué)生中讀書謎大概有多少名?(將頻率視為概率)
(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為“讀書謎”與性別有關(guān)?
非讀書迷 | 讀書迷 | 合計(jì) | |
男 | 40 | ||
女 | 25 | ||
合計(jì) |
附:,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù),函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有5個(gè)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革,學(xué)校將高一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲乙兩個(gè)班,每班各40人,甲班按原有模式教學(xué),乙班實(shí)施教學(xué)方法改革.經(jīng)過(guò)一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn),將甲乙兩個(gè)班學(xué)生一年來(lái)的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)∑骄鶖?shù),兩個(gè)班學(xué)生的平均成績(jī)均在,按照區(qū)間,,進(jìn)行分組,繪制成如下頻率分布直方圖,規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀.
(1)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”;
甲班 | 乙班 | 總計(jì) | |
大于等于80分的人數(shù) | |||
小于80分的人數(shù) | |||
總計(jì) |
(2)從乙班分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談,從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來(lái)自發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和期望.附:,
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“一本書,一碗面,一條河,一座橋”曾是蘭州的城市名片,而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片,隨著全民運(yùn)動(dòng)健康意識(shí)的提高,馬拉松運(yùn)動(dòng)不僅在蘭州,而且在全國(guó)各大城市逐漸興起,參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人口逐年增加.為此,某市對(duì)人們參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查.其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取200人,對(duì)其每周參與馬拉松長(zhǎng)跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到以下統(tǒng)計(jì)表:
平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù) | 不大于2天 | 3天或4天 | 不少于5天 |
人數(shù) | 30 | 130 | 40 |
若某人平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不少于5天,則稱其為“熱烈參與者”,否則稱為“非熱烈參與者”.
(1)經(jīng)調(diào)查,該市約有2萬(wàn)人參與馬拉松運(yùn)動(dòng),試估計(jì)其中“熱烈參與者”的人數(shù);
(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù),填寫下列2×2列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)?
熱烈參與者 | 非熱烈參與者 | 合計(jì) | |
男 | 140 | ||
女 | 55 | ||
合計(jì) |
附:k2=(n為樣本容量)
P(k2≥k0) | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD交點(diǎn),面平面ABCD.
(1)證明:平面BDE;
(2)若為等邊三角形,,,三棱錐的體積為,求四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中畫出了某多面體的三視圖,則該多面體的外接球表面積為______.
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