Question

【題目】已知橢圓： 的左右焦點分別是，直線與橢圓交于兩點，當時， 恰為橢圓的上頂點，此時的面積為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左頂點為，直線與直線分別相交于點，問當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）弦長為定值6．

【解析】試題分析：（1）根據時，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；（2）利用特殊位置猜想結論：當時，直線的方程為： ，求得以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6 ，猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6，再進行證明即可.

試題解析：（1）當時，直線的傾斜角為，所以：

解得： ，所以橢圓方程是：；

（2）當時，直線： ，此時，，，又點坐標是，據此

可得，，故以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6．由此猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6．　

證明如下：設點點的坐標分別是，則直線的方程是：

，所以點的坐標是，同理，點的坐標是，

由方程組　得到：，

所以：，　　從而：

=0，

所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6．