Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx（a＞0）
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（Ⅰ）a=2時，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，原函數(shù)定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$＞0恒成立⇒函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．且f（1）=0，函數(shù)f（x）零點的個數(shù)為1．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，設g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））分類討論，從而求得參數(shù)的范圍，
（Ⅲ）原命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，只需[F（x）]＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，原函數(shù)定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$＞0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
且f（1）=0，函數(shù)f（x）零點的個數(shù)為1．
（Ⅱ）原函數(shù)定義域為（0，+∞），∴f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$
∵a＞0，設g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））
由題意知△=4-4a²≤0，∴a≥1．
即a≥1時，∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
0＜a＜1，時，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}，\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$）遞減．
（Ⅲ）原命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
設F（x）=f（x）-g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，∵F′（x）=$\frac{a{x}^{2}+a+2（e-x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）是增函數(shù)，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得a$＞\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
∴a的取值范圍是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

點評 本題考查了導數(shù)求函數(shù)的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，屬于難題．