Question

17．若（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)絕對值之和為1024，則展開式中x的系數(shù)為（　�。�

• A． 15
• B． 10
• C． -15
• D． -10

Answer 1

分析 （$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)絕對值之和與$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$的展開式中各項系數(shù)之和相等．對$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$，令x=1，則其展開式中各項系數(shù)之和=4ⁿ．解得n，再利用通項公式即可得出．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{x}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)絕對值之和與$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$的展開式中各項系數(shù)之和相等．
對$（\sqrt{x}+\frac{3}{x}）^{n}$，令x=1，則其展開式中各項系數(shù)之和=4ⁿ．
∴4ⁿ=1024，解得n=5．
∴$（\sqrt{x}-\frac{3}{x}）^{5}$的通項公式T_r+1=${∁}_{5}^{r}$$（\sqrt{x}）^{5-r}$$（-\frac{3}{x}）^{r}$=（-3）^r${∁}_{5}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}-\frac{3r}{2}}$，
令$\frac{5}{2}-\frac{3r}{2}$=1，解得r=1．
∴展開式中x的系數(shù)=-3×${∁}_{5}^{1}$=-15．
故選：C．

點評 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．