Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）過坐標(biāo)原點O作曲線y=f（x）的切線，證明：切點的橫坐標(biāo)為1．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立；
（Ⅲ）設(shè)出切點，利用低斜率的兩種表示，列出等式，再根據(jù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，且存在零點，從而說明存在唯一零點．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x²+x-lnx（x＞0），∴f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，
當(dāng)x∈(0 ， 

1

2

) ， f′(x)＜0 ， x∈(

1

2

 ， +∞) ， f′(x)＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0 ， 

1

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間(

1

2

 ， +∞)．
（Ⅱ）f′(x)=2x+a-

1

x

，∵f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，∴f'（x）≤0對任意x∈（0，1]恒成立，
即2x+a-

1

x

≤0對任意x∈（0，1]恒成立，∴a≤

1

x

-2x對任意x∈（0，1]恒成立，
令g(x)=

1

x

-2x，∴a≤g（x）_min，
易知g（x）在（0，1]單調(diào)遞減，∴g（x）_min=g（1）=-1．∴a≤-1．
（Ⅲ）設(shè)切點為M（t，f（t）），f′(x)=2x+a-

1

x

，
切線的斜率k=2t+a-

1

t

，又切線過原點k=

f(t)

t

，

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即：t²+at-lnt=2t²+at-1，∴t²-1+lnt=0，
令g（t）=t²-1+lnt，g′(t)=2t+

1

t

＞0，∴g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（1）=0，所以方程t²-1+lnt=0有唯一解t=1．
綜上，切點的橫坐標(biāo)為1．

點評：本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用題，由恒成立，求式中參數(shù)的值，求切點與切線的問題，運用了方程，轉(zhuǎn)化思想，屬于常見題型．