Question

如圖,已知直平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為4的菱形,∠BAD=60°,E為AB的中點,A₁E與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證:平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁;

(2)求點B₁到平面A₁DE的距離;

(3)求二面角A₁-DE-C₁的大小.

Answer 1

解法一：(1)證明:連結(jié)BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.∵E為AB的中點,∴DE⊥AB.

又在直平行六面體ABCDA₁B₁C₁D₁中,AA₁⊥平面ABCD,

∵DE平面ABCD,∴AA₁⊥DE.                                             

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                

(2)解:過點B₁作B₁G⊥A₁E于G點.

∵平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁,且平面A₁DE∩平面ABB₁A₁=A₁E,

∴B₁G⊥平面A₁DE,B₁G即為點B₁到平面A₁ED的距離.                         

∵AA₁⊥平面ABCD,∴∠A₁EA為A₁E與平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.∴∠B₁A₁G=60°.

在Rt△A₁B₁G中,B₁G=A₁B₁sin60°=4×,

∴點B₁到平面A₁ED的距離為2.                                          

〔另法提示:可用體積法求點B₁到平面A₁ED的距離〕

(3)解:分別延長AB、A₁B₁至H、H₁,使BH=B₁H₁=2,連結(jié)CH、C₁H₁、EH₁、HH₁.

∵EH=DC,EH∥DC,

∴四邊形EHCD為平行四邊形.∴ED∥HC.

同理,H₁C₁∥HC,∴ED∥H₁C₁.∴E、H₁、C₁、D四點共面.

由(1)知DE⊥平面ABB₁A₁,EA₁、EH₁平面ABB₁A₁,

∴DE⊥EA₁,DE⊥EH₁.∴∠A₁EH₁為二面角A₁EDC₁的平面角.                    

在Rt△A₁AE中,由∠A₁EA=60°,AE=2,可得AA₁=2,A₁E=4.

在Rt△H₁HE中,HH₁=2,EH=4,?

?∴EH₁=2.

在△A₁EH₁中,cos∠A₁EH₁=

∠A₁EH₁=arccos.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小為arccos.                                        

〔另法提示:也可由∠A₁EH₁=-∠HEH₁,得出∠A₁EH₁=-arctan〕

解法二：連結(jié)BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.

∵E為AB的中點,

∴DE⊥AB,DE=.

∴DE⊥DC.

∵AA₁⊥平面ABCD,

∴∠A₁EA為A₁E與平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.又AA₁⊥AE,AE=2,

∴A₁A=,A₁E=4.                                                         

(1)證明:以點D為坐標(biāo)原點,DE、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(2,0,0),C(0,4,0),D₁(0,0,2),A(2,-2,0),A₁(2,-2,23),B(2,2,0),B₁(2,2, 2),C₁(0,4,2).

∴=(2,0,0),=(0,0,2),=(0,4,0).

∴=(2,0,0)·(0,0,2)=0,

=(2,0,0)·(0,4,0)=0.

∴.                                                    

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                 

(2)同解法一.                                                               

(3)解:由(1)知,DE⊥平面ABB₁A₁,∴DE⊥平面CDD₁C₁.

∴DE⊥EA₁,DE⊥DC₁.

∴〈〉為二面角A₁-ED-C₁的平面角.                                 

又=(0,-2,2),=(0,4,2),

∴=(0,-2,2)·(0,4,2)=4.

∴cos〈〉=.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小為arccos.                                        

〔另法提示:本題也可用法向量夾角來求解,但必須根據(jù)法向量的方向來說明所求二面角的大小與法向量夾角大小之間的關(guān)系〕。