Question

已知1≤x²+y²≤2，則x²+xy+y²的取值范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，則有1≤x²+y²≤2，可得a的范圍，進而化簡t=x²+xy+y²可得t=（1+sin2θ）a²，
由三角函數的性質，可得1+sin2θ的范圍，計算可得答案．
解答：解：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，
則有1≤x²+y²≤2，可得1≤a≤，
進而可得，t=x²+xy+y²=a²+a²sinθcosθ=（1+sin2θ）a²，
由三角函數的性質，可得≤（1+sin2θ）≤，
故≤t≤3，
故答案為[，3]．
點評：本題考查換元法在不等式中的應用，常見的換元方法有三角換元，要結合三角函數進行分析．