Question

4．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²+1-（x²-3x+3）e^x，（k∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（x²-3x+3）e^x，若過點A（m，-4）恰有兩條直線與曲線y=g（x）相切，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求導，利用導數(shù)求得f（x）在Q的切線方程，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可求得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是R，
f′（x）=x（x-1）（6-e^x），
令f′（x）=0，解得：x=0，1或ln6，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，ln6）	ln6	（ln6，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

故函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，ln6）遞增，在（0，1），（ln6，+∞）遞減；
（2）設(shè)切點Q（t，f（t）），由直線g（x）=f（x）+（x²-3x+3）e^x=2x³-3x²+1，
求導，g′（x）=6x²-6x，
則g（x）在Q點的切線的斜率k=6t²-6t，
則切線方程為y-g（t）=（6t²-6t）（x-t），
由切線過點P（m，-4），則-4-f（t）=（6t²-6t）（m-t），
整理得：4t³-（3+6m）t²+6mt-5=0，
又由曲線恰有兩條切線，即方程恰有兩個不同的解，
令H（t）=4t³-（3+6m）t²+6mt-5，求導H′（t）=12t²-6（1+2m）t+6m，
令H′（t）=0，解得：t=$\frac{1}{2}$，t=m，
當m=$\frac{1}{2}$時，H′（t）≥0，函數(shù)H（t）在R上單調(diào)遞增，沒有兩個零點，不符合題意，
當m＞$\frac{1}{2}$時，且t∈（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（m，+∞）時，H′（t）＞0，
當t∈（$\frac{1}{2}$，m）時，H′（t）＜0，
∴H（t）在（-∞，$\frac{1}{2}$），（m，+∞）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，m）單調(diào)遞減；
要使H（t）在R上有兩個零點，則 $\left\{\begin{array}{l}{H（\frac{1}{2}）=0}\\{H（m）＜m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{H（\frac{1}{2}）＞0}\\{H（m）=0}\end{array}\right.$，
由H（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{2}$m+3m-5=$\frac{3}{2}$（m-$\frac{7}{2}$），
H（m）=4m³-（3+6m）m²+6m²-5=-（m+1）（2m²-5m+5），
=-（m+1）[2（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{15}{8}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-\frac{7}{2}=0}\\{m+1＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m-\frac{7}{2}＞0}\\{m+1=0}\end{array}\right.$，
則m=$\frac{7}{2}$，
當m＜$\frac{1}{2}$時，同理可知：$\left\{\begin{array}{l}{m+1=0}\\{m-\frac{7}{2}＜0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{m-\frac{7}{2}=0}\end{array}\right.$，則m=-1，
綜上可知：m=-1或m=$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理能力句函數(shù)和方程思想、分類和整合思想，是一道綜合題，屬于難題．