Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=2017^x+log2017x，則f（x）在R上的零點的個數(shù)為3．

Answer 1

分析 x＞0時，求f′（x），并容易判斷出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．然后判斷有沒有x₁，x₂使得f（x₁）f（x₂）＜0：分別取x=2017^-2017，1，便可判斷f（2017^-2017）＜0，f（1）＞0，從而得到f（x）在（0，+∞）上有一個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性便得到f（x）在（-∞，0）上有一個零點，而因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，這樣便得到在R上f（x）零點個數(shù)為3．

解答 解：x＞0時，f′（x）=2017^xln2017+$\frac{1}{xln2017}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
取x=2017^-2017，則f（2017^-2017）=$201{7}^{\frac{1}{2017}}$-2017＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一個零點，根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，f（x）在（-∞，0）也有一個零點；
又f（0）=0；
∴函數(shù)f（x）在R上有3個零點．
故答案為：3．

點評 考查奇函數(shù)的概念，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)零點的概念，以及判斷函數(shù)在一區(qū)間上有沒有零點，以及有幾個零點的方法，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點的對稱性．