Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.
（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；
（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；
（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.

Answer 1

（Ⅰ）解：.                 ………………3分
（Ⅱ）證法一：
證明：由已知，，.
因此，猜想.                         ………………4分
① 當時，，猜想成立；
② 假設時，.
當時，



故當時猜想也成立.
由 ①、② 可知，對于任意正整數(shù)，有. ………………7分
設數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結論可知
，其中.
由于為偶數(shù)，所以，
所以 ，其中.
因此，數(shù)列即是數(shù)列.                                ………………9分
證法二：
因為 ，
，
，
……
，
由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得
     即，.                                    ………………7分
由于，，
根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.    ………………9分
（Ⅲ）證法一：
證明：設數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可.  ……10分
由（Ⅱ）中結論可知 ，




，
所以，，即成等差數(shù)列，
所以是等差數(shù)列.                                       ………………13分
證法二：
因為 ，
所以 .
所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可.       ………………10分
對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，
因為 ，
，
，
……
，
由于為奇數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，
相加得
     即.
設數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，
因為 ，，
所以 ， 即成等差數(shù)列.                                   
同理可證，也成等差數(shù)列.
即 是等差數(shù)列.
所以 成等差數(shù)列.                                     ………………13分

略