【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的極小值為0,求
的值;
(2)且
,求證:
.
【答案】(1).(2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)是否有零點確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)為和
,然后分別討論導(dǎo)數(shù)的符號,確定當(dāng)
時在
處取得極小值
,再通過討論
的單調(diào)性,從而由
有唯一解
.
(2)一方面,可以將問題等價轉(zhuǎn)化為證當(dāng)時,
恒成立問題,然后構(gòu)造函數(shù)
,通過其導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性,從而使問題得證;另一方面,也可以直接構(gòu)造函數(shù)
(
),由其二階導(dǎo)數(shù)以及
的范圍確定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,從而確定
的符號,進而確定
的單調(diào)性,可得
,使問題得證.
(Ⅰ)因為
所以,
當(dāng)時,
,函數(shù)
在定義域上遞增,不滿足條件;
當(dāng)時,函數(shù)
在
上遞減,在
上遞增,
故在
取得極小值0,
,
令,
,所以
在(0,1)單調(diào)遞增,
在單調(diào)遞減,故
,
的解為
,
故.
(2)證法1:由,
,所以只需證當(dāng)
時,
恒成立.
令
由(1)可知,令
得
在
上遞增,故
,所以命題得證.
證法2:,
設(shè)(
),則
,
則,又
,
,得
,
所以單調(diào)遞增,得
,
所以單調(diào)遞增,得
,得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】疫情期間,一同學(xué)通過網(wǎng)絡(luò)平臺聽網(wǎng)課,在家堅持學(xué)習(xí).某天上午安排了四節(jié)網(wǎng)課,分別是數(shù)學(xué),語文,政治,地理,下午安排了三節(jié),分別是英語,歷史,體育.現(xiàn)在,他準(zhǔn)備在上午下午的課程中各任選一節(jié)進行打卡,則選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學(xué)科(政治、歷史、地理)課程的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓
上一動點,
在
軸,
軸上的射影分別為點
,
,動點
滿足
,記動點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線
交于
,
兩點,判斷以
為直徑的圓是否過定點?求出定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若函數(shù)在點
處的切線方程為
,求
的值;
(2)若函數(shù)有兩個極值點
,證明:
成等差數(shù)列;
(3)若函數(shù)有三個零點
,對任意的
,不等式
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點
為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程是:
(1)求曲線的普通方程和直線
的直角坐標(biāo)方程.
(2)點是曲線
上的動點,求點
到直線
距離的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)
的最大值
;
(2)在(1)成立的條件下,正實數(shù),
滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)且
,
,
,曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的普通方程及
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與曲線
分別交于點
,
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若曲線在x=1處的切線為y=2x-3,求實教a,b的值.
(2)若a=0,且-2對一切正實數(shù)x值成立,求實數(shù)b的取值范圍.
(3)若b=4,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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