Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：成等差數(shù)列；

（3）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得解；

（2）由等差數(shù)列的判定，只需證明，代入運(yùn)算即可；

（3）由導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值，解不等式即可得解.

解：（1）由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

得 ，又，

即，

故；

（2）要證成等差數(shù)列，

只需證明，

又函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，

+=

= ，

命題得證；

（3）由函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

得，解得且有兩個(gè)根為，

于是有 ，即，

有兩個(gè)相異的實(shí)根，不妨設(shè)為，

①當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

又

所以，

故不等式恒成立，

② 當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)在為減函數(shù)，在， 為增函數(shù)，

由，

故=，

對(duì)于任意的，不等式恒成立，

于是，

又 ，

故，

令

，則 ，

解得，

解得，即，

即

綜上可得的取值范圍為．