Question

4．一個(gè)不透明的盒子中關(guān)有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共n（n=13k，k∈N₊）只，現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能一只昆蟲飛出（任意一只昆蟲等可能地飛出），已知有2只昆蟲先后飛出時(shí)，飛出的至少有1只是蜜蜂的概率是$\frac{25}{39}$．
（Ⅰ）若盒子中共有13只昆蟲：
①求蜜蜂有幾只；
②從盒子先后任意飛出3只昆蟲，記飛出蜜蜂的只數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望E（X）；
（Ⅱ）若只有1只昆蟲飛出時(shí)，飛出的是蝴蝶的概率是$\frac{5}{13}$．證明：從盒子先后任意飛出2只昆蟲，至少有1只蝴蝶飛出的概率不大于$\frac{25}{39}$，并指出盒子中哪種昆蟲的只數(shù)最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①設(shè)有蜜蜂x只，則其他昆蟲為13C$\frac{{C}_{13-x}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{25}{39}$-x，然后利用古典概型概率計(jì)算公式列式求得x；
②寫出X的取值，利用古典概型概率計(jì)算公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，由期望公式求得期望．
（Ⅱ）設(shè)出任意飛出兩只昆蟲至少有一只是蝴蝶的事件，得到其對(duì)立事件，列式證明即可．

解答 解：（Ⅰ）①“從盒子中先后飛出兩只昆蟲，至少有一只蜜蜂”為事件A，設(shè)盒子中蜜蜂的只數(shù)為x（x∈N+），則P（A）=1-$\frac{{C}_{13-x}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{25}{39}$，解得：x=5，故蜜蜂有5只．
②隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{28}{143}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{70}{143}$
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{40}{143}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{5}{143}$
故X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{28}{143}$	$\frac{70}{143}$	$\frac{40}{143}$	$\frac{5}{143}$

EX=1×$\frac{70}{143}+2×\frac{40}{143}+3×\frac{5}{143}=\frac{15}{13}$
（Ⅱ）證明：設(shè)盒子中由y只蝴蝶，由題意得y=$\frac{5}{13}n$，
記“任意飛出兩只昆蟲，至少有一只是蝴蝶”為事件B，則事件$\overline{B}$為“任意飛出2只昆蟲，其中沒有蝴蝶”；
P（B）=1-P（$\overline{B}$）=1-$\frac{{C}_{n-y}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{105}{169}+\frac{40}{169（n-1）}$
當(dāng)n=13時(shí)，P_max（B）=$\frac{105}{169}+\frac{40}{2028}=\frac{25}{39}$，所以P（B）$≤\frac{25}{39}$
又因?yàn)橛?只昆蟲先后分出，分出的至少有1只是蜜蜂的概率為$\frac{25}{39}$，所以盒子中蜜蜂的只數(shù)不少于蝴蝶只數(shù)，即蜜蜂的只數(shù)不少于$\frac{5}{13}n$，故蜻蜓的只數(shù)最多為$\frac{3}{13}n$，
因此盒子中蜻蜓數(shù)最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬中檔題．