Question

2．如圖，四邊形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，DE∥AF，AF=AD．
（1）求證：直線BF∥平面CDE；
（2）若直線BE與平面ADEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，試推斷平面CEF與平面CDF是否垂直．說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由CD∥BA，又DE∥AF，可證平面CDE∥平面ABF，利用面面平行的性質(zhì)可證BF∥平面CDE．
（2）先證明AB⊥平面ADEF，連接AE，則sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，由余弦定理可證EF⊥DF，進(jìn)而證明EF⊥CD，利用面面垂直的判定定理即可得證平面CEF與平面CDF垂直．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥BA，
又∵DE∥AF，∴平面CDE∥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴BF∥平面CDE…4分
（2）∵ED⊥平面ABCD，則ED⊥AB，
又AD⊥AB，
則AB⊥平面ADEF，
連接AE，則∠AEB為直線BE與平面ADEF所成的角，
由已知，sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，…6分
設(shè)AB=1，則BE=$\sqrt{6}$，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=2，…8分
∵ED⊥AD，DE∥AF，AF=AD，則∠EDF=45°，
又∵DF=$\sqrt{2}$，則EF²=DE²+DF²-2DE•DFcos45°=2，即EF=$\sqrt{2}$，…9分
∴DF²+EF²=DE²，即EF⊥DF，…10分
由已知，CD⊥DE，CD⊥AD，則CD⊥平面ADEF，所以EF⊥CD，…11分
∴EF⊥平面CDF，
∵EF?平面CEF，
∴平面CEF⊥平面CDF．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，余弦定理，面面垂直的判定以及線面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．