【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R. (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)存在極值點x0 , 且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0;求證:x1+2x0=0.
【答案】解:(Ⅰ)若f(x)=x3﹣ax﹣b,則f′(x)=3x2﹣a, 分兩種情況討論:
①、當(dāng)a≤0時,有f′(x)=3x2﹣a≥0恒成立,
此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,+∞),
②、當(dāng)a>0時,令f′(x)=3x2﹣a=0,解得x=﹣ 或x= ,
當(dāng)x> 或x<﹣ 時,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)為增函數(shù),
當(dāng)﹣ <x< 時,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)為減函數(shù),
故f(x)的增區(qū)間為(﹣∞,﹣ ),( ,+∞),減區(qū)間為(﹣ , );
(Ⅱ)若f(x)存在極值點x0 , 則必有a>0,且x0≠0,
由題意可得,f′(x)=3x2﹣a,則x02= ,
進(jìn)而f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b,
又f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f(x0),
由題意及(Ⅰ)可得:存在唯一的實數(shù)x1 , 滿足f(x1)=f(x0),其中x1≠x0 ,
則有x1=﹣2x0 , 故有x1+2x0=0
【解析】(Ⅰ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論a≤0時f′(x)≥0,f(x)在R上遞增;當(dāng)a>0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(Ⅱ)由條件判斷出a>0,且x0≠0,由f′(x0)=0求出x0 , 分別代入解析式化簡f(x0),f(﹣2x0),化簡整理后可得證.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減).
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)解析式;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性(給出結(jié)論即可);
(3)若方程
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【題目】袋子中放有大小和形狀相同而顏色互不相同的小球若干個, 其中標(biāo)號為0的小球1個, 標(biāo)號為1的小球1個, 標(biāo)號為2的小球2個, 從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球, 記第一次取出的小球標(biāo)號為,第二次取出的小球標(biāo)號為.
(1) 記事件表示“”, 求事件的概率;
(2) 在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù), 記的最大值為,求事件“”的概率.
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【題目】小明和爸爸媽媽、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人與小明相鄰,則不同的坐法總數(shù)為________.
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【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了7位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:10分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:100分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:
特征量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
98 | 88 | 96 | 91 | 90 | 92 | 96 | |
9.9 | 8.6 | 9.5 | 9.0 | 9.1 | 9.2 | 9.8 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程(計算結(jié)果精確到0.01);
(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)為95分時,他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到0.1)
附:回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
, .
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【題目】在極坐標(biāo)系中,點坐標(biāo)是,曲線的方程為;以極點為坐標(biāo)原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,斜率是的直線經(jīng)過點.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求證直線和曲線相交于兩點、,并求的值.
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【題目】函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(ω>0,| |)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
ωx+ | 0 |
| π |
| 2π |
x |
|
| |||
Asin(ωx+) | 0 | 5 | ﹣5 | 0 |
(1)請在答題卡上將如表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動個單位長度,得到y=g(x)圖象,求y=g(x)的圖象離原點O最近的對稱中心.
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【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元,已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)=200x+x3(元),若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,要使利潤最大,該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品?最大利潤是多少?
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