【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意建立關(guān)于的方程組，解之可得橢圓的方程；

（Ⅱ）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，得到關(guān)于交點坐標的關(guān)系，并且由根的判別式得出關(guān)于的不等式，從而得到線段的中點，和線段的垂直平分線的方程，由點在其垂直平分線上得出關(guān)于的方程，可得到關(guān)于的不等式，解之可得的范圍.

（Ⅰ）由題意可知：， 得，

故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）設(shè)，，將代入橢圓方程，

消去得，

所以，即…………①

由根與系數(shù)關(guān)系得，則，

所以線段的中點的坐標為．

又線段的垂直平分線的方程為，

由點在直線上，得，

即，所以…………②

由①②得，

所以，即或，

所以實數(shù)的取值范圍是．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在直角坐標系中，點到拋物線的準線的距離為，點是上的定點，、是上的兩個動點，且線段的中點在線段上.

（1）拋物線的方程及的值；

（2）當點、分別在第一、四象限時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過點且與橢圓相交于兩點.過點作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求實數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)．

（1）求、的值及函數(shù)的解析式；

（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）如果關(guān)于的方程有三個相異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形， ， E、F分別是AC、BC的中點，且PD⊥AB于D.

（Ⅰ）證明：直線⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與底面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示，路寬AD=24米，設(shè)

（1）求燈柱AB的高h（用表示）；

（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長度最小？最小值為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設(shè)計的小凳應(yīng)滿足：三根細鋼管相交處的節(jié)點與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面，且分細鋼管上下兩段的比值為，三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點，厘米，求凳子的高度及三根細鋼管的總長度(精確到).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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