Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形， ， E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，且PD⊥AB于D.

（Ⅰ）證明：直線⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正三角形的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)得面，繼而可得出，由線面垂直的判斷可得證；

（Ⅱ）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA所在的直線為x軸，EB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求得面的法向量，根據(jù)二面角的坐標(biāo)計(jì)算公式可得出二面角的正弦值.

（Ⅰ）∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF//AB，

在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC，∴且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEPD=P，

∴AB⊥平面PED， 又//，

∴，又，，

∴直線⊥平面.

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，

∴BE⊥平面PAC，

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA所在的直線為x軸，EB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：

則，, ，

設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量，則由得

，令，得，即，

設(shè)二面角的大小為，則，則,

，

即二面角的正弦值為.