Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足an+1=

an

4an+1

(n∈N*)．
（I）設(shè)bn=

1

an

，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)cn=bn•2n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）為等差數(shù)列的證明，由an+1=

an

4an+1

(n∈N*)取倒數(shù)，得到

1

an+1

-

1

an

=4，即b_n+1-b_n=4，故數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，易求通項(xiàng)公式．
（II）為數(shù)列的求和，由cn=bn•2n可知數(shù)列的每一項(xiàng)是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，故可由錯位相減法求和．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

an

4an+1

，∴

1

an+1

=4+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=4，∴b_n+1-b_n=4．
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．∴

1

an

=bn=1+4(n-1)=4n-3，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1

4n-3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=bn•2n=（4n-3）2ⁿ，
∴Sn=1×21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n…①
同乘以2得，2Sn=1×22+5×23+9×24+…+(4n-3)•2n+1…②
②-①得，-Sn=2-(4n-3)2n+1+4×(22+23+24+…+2n)
=2-(4n-3)2n+1+

4×22×(1-2n-1)

1-2

=2-（4n-3）2ⁿ⁺¹+16×2^n-1-16
=-14+2ⁿ⁺¹×（4-4n+3）=-14+（7-4n）2ⁿ⁺¹
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Sn=(4n-7)•2n+1+14

點(diǎn)評：本題為數(shù)列的綜合問題：（1）為等差數(shù)列的證明，關(guān)鍵是證明b_n+1-b_n為與n無關(guān)的常數(shù)．（2）為數(shù)列的求和，由錯位相減法求和可得結(jié)果，注意運(yùn)算過程中的等比數(shù)列的求和．