Question

20．如圖，兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為BA延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，從P引兩圓的割線PCD，PFE．
（Ⅰ）求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若PF=EF，CD=2PC，求PD與PE的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△PCF∽△PED，得出∠D=∠PEC，即可證明：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）利用PF=EF，CD=2PC，PC•PD=PF•PE，得出3PC²=2PF²，即可求PD與PE的比值．

解答 （Ⅰ）證明：連接DE，CF，則
由割線定理得PA•PB=PC•PD=PF•PE，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PD}$，
∵∠FPC=∠DPE，
∴△PCF∽△PED，
∴∠D=∠PEC，
∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）解：∵PF=EF，CD=2PC，PC•PD=PF•PE，
∴3PC²=2PF²，
∴PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$PF，PD=3PC=$\sqrt{6}$PF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$PE，
∴PD與PE的比值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查割線定理的運(yùn)用，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．