Question

8．與$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同漸近線方程且過點P（$\sqrt{6}，2$）的雙曲線標準方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 與$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同漸近線方程可設為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），代入點P（$\sqrt{6}，2$），解方程，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：與$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同漸近線方程可設為：
$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），
代入點P（$\sqrt{6}，2$），可得
$\frac{6}{9}$-$\frac{4}{4}$=λ，即λ=-$\frac{1}{3}$，
則所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，注意共漸近線方程的雙曲線的方程的設法，考查運算能力，屬于中檔題．