Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

+b在點(diǎn)（1，3）處與y軸垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可得f′（1）=0且f（1）=3，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，列表分析函數(shù)在[

1

2

，2]上的單調(diào)區(qū)間和極值，從而得到最小值和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=lnx+

a

x

+b，
則f′(x)=

1

x

-

a

x2

，
則

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
解得

a=1 b=2

；
（Ⅱ）由于f(x)=lnx+

1

x

+2，
則f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

由f'（x）=0⇒x=1，
列表如下

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
y'		-	0	+
y	4-ln2	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	5 2 +ln2

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值即最小值：f（x）_min=f（1）=3，
由于f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4=ln

e 3 2

4

＞0，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最大值f(x)max=f(

1

2

)=4-ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．