Question

符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù)f（x）=x-[x]，則  下列命題：
①函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]； 
②方程f（x）=

1

x

有無數(shù)多個解；
③函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①求出函數(shù){x}的取值范圍，即可得出函數(shù)的值域；
②令{x}=x-[x]=

1

2

，求出對應(yīng)x的值，有無數(shù)多個；
③根據(jù)周期函數(shù)的定義，判斷函數(shù){x}是周期函數(shù)；
④根據(jù)函數(shù){x}的性質(zhì)以及單調(diào)性的定義，判斷該函數(shù)在整個定義域上無單調(diào)性．

解答： 解：①當(dāng)0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），∴①錯誤；
②當(dāng)x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②正確；
③∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴③正確；
④∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴④錯誤．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)與函數(shù)值域的應(yīng)用問題，也考查了新定義的函數(shù){x}=x-[x]的意義，是綜合性題目．